Fibonacci
La successione di Fibonacci è una particolare successione di numeri naturali definita dalla legge per cui ciascun numero della successione eccetto i primi due è dato dalla somma dei due numeri precedenti. Il primo e il secondo numero della successione sono entrambi uguali a 1.
I primi 10 numeri della successione sono i seguenti:
$$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55$$
Il matematico francese Jacques Louis Binet trovò una formula per calcolare l'$n-esimo$ termine della successione di Fibonacci senza dover calcolare prima i termini precedenti.
Qui daremo una delle possibili dimostrazioni della formula di Binet.
Si consideri la frazione
$$\frac{a^n-b^n}{a-b}, a \neq b (1)$$
Moltiplicando la (1) per $a+b$ si ottiene:
$$(a+b)\frac{a^n- b^n}{a-b}= \frac{a^{n+1}+ a^{n}b-ab^n - b^{n+1}}{a-b}=\frac{a^{n+1}- b^{n+1}}{a-b}+ ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}$$
Riordinando i termini dell’equazione si ha:
$$\frac{a^{n+1}- b^{n+1}}{a-b}=(a+b)\frac{a^n- b^n}{a-b}- ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}(2)$$
Posto $$A_n=\frac{a^n- b^n}{a-b}(3)$$
dalla (3) segue immediatamente $$\begin{cases}A_0=0\\A_1=1\end{cases}(4)$$
Sostituendo la (3) nella (2) abbiamo poi:
$$A_{n+1}=(a+b) A_n-abA_{n-1}(5)$$
Se ora cerchiamo due valori $a$ e $b$ tali che:
$$\begin{cases}a+b=1\\-ab=1\end{cases}(6)$$
la (5) diventa:
$$A_{n+1}=A_n+A_{n-1}(7)$$
Unendo le (6) e la (7) abbiamo esattamente la legge della successione di Fibonacci:
$$\begin{cases}A_0=0\\A_1=1\\A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}\end{cases}(8)$$
Troviamo ora i valori $a$ e $b$.
Riscriviamo le $(7)$ nel modo seguente:
$$\begin{cases}a+b=1\\ab=-1\end{cases}(9)$$
Perciò $a$ e $b$ sono sue numeri la cui somma è $1$ e il cui prodotto è $-1$
Di conseguenza $a$ e $b$ soddisfano l’equazione di secondo grado:
$$x^2-x-1 =0 $$
le cui soluzioni sono:
$$x_{1,2}=\frac{1\mp\sqrt{5}}{2}(10)$$
Sostituendo i valori dati dalla $(10)$ nella $(3)$ e scegliendo per $a$ la radice positiva, si ha:
$$A_n=\frac{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n}{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}$$
Ossia (con il cambio di notazione $F_n=A_n$, dato che come abbiamo visto $A_n$ è l'n-esimo termine della successione di Fibonacci):
$$F_n=\frac{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n}{\sqrt{5}}$$
che è la formula di Binet.
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