Fibonacci

La successione di Fibonacci è una particolare successione di numeri naturali definita dalla legge per cui ciascun numero della successione eccetto i primi due è dato dalla somma dei due numeri precedenti. Il primo e il secondo numero della successione sono entrambi uguali a 1. I primi 10 numeri della successione sono i seguenti: $$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55$$ Il matematico francese Jacques Louis Binet trovò una formula per calcolare l'$n-esimo$ termine della successione di Fibonacci senza dover calcolare prima i termini precedenti. Qui daremo una delle possibili dimostrazioni della formula di Binet. Si consideri la frazione $$\frac{a^n-b^n}{a-b}, a \neq b (1)$$ Moltiplicando la (1) per $a+b$ si ottiene: $$(a+b)\frac{a^n- b^n}{a-b}= \frac{a^{n+1}+ a^{n}b-ab^n - b^{n+1}}{a-b}=\frac{a^{n+1}- b^{n+1}}{a-b}+ ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}$$ Riordinando i termini dell’equazione si ha: $$\frac{a^{n+1}- b^{n+1}}{a-b}=(a+b)\frac{a^n- b^n}{a-b}- ab\frac{a^{n-1}-b^{n-1}}{a-b}(2)$$ Posto $$A_n=\frac{a^n- b^n}{a-b}(3)$$ dalla (3) segue immediatamente $$\begin{cases}A_0=0\\A_1=1\end{cases}(4)$$ Sostituendo la (3) nella (2) abbiamo poi: $$A_{n+1}=(a+b) A_n-abA_{n-1}(5)$$ Se ora cerchiamo due valori $a$ e $b$ tali che: $$\begin{cases}a+b=1\\-ab=1\end{cases}(6)$$ la (5) diventa: $$A_{n+1}=A_n+A_{n-1}(7)$$ Unendo le (6) e la (7) abbiamo esattamente la legge della successione di Fibonacci: $$\begin{cases}A_0=0\\A_1=1\\A_{n+1}=A_{n}+A_{n-1}\end{cases}(8)$$ Troviamo ora i valori $a$ e $b$. Riscriviamo le $(7)$ nel modo seguente: $$\begin{cases}a+b=1\\ab=-1\end{cases}(9)$$ Perciò $a$ e $b$ sono sue numeri la cui somma è $1$ e il cui prodotto è $-1$ Di conseguenza $a$ e $b$ soddisfano l’equazione di secondo grado: $$x^2-x-1 =0 $$ le cui soluzioni sono: $$x_{1,2}=\frac{1\mp\sqrt{5}}{2}(10)$$ Sostituendo i valori dati dalla $(10)$ nella $(3)$ e scegliendo per $a$ la radice positiva, si ha: $$A_n=\frac{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n}{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}$$ Ossia (con il cambio di notazione $F_n=A_n$, dato che come abbiamo visto $A_n$ è l'n-esimo termine della successione di Fibonacci): $$F_n=\frac{\left({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)^n-\left({\frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)^n}{\sqrt{5}}$$ che è la formula di Binet.